GGT & KGV Rechner
Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache beliebiger Zahlen mit detaillierten Schritt-für-Schritt-Lösungen und Primfaktorzerlegung.
Berechnungsmodus
Erkannte Zahlen: 12, 18
Beziehung zwischen GGT und KGV
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Was sind GGT und KGV?
GGT (Größter Gemeinsamer Teiler) ist die größte Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt.
KGV (Kleinstes Gemeinsames Vielfaches) ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von zwei oder mehr Zahlen ist.
Beispiele aus dem Alltag
GGT-Beispiel: Bänder schneiden Sie haben zwei Bänder: eines ist 12 cm lang, das andere 18 cm. Sie möchten beide in gleich lange Stücke schneiden, ohne Rest. Der GGT von 12 und 18 ist 6, also können Sie beide Bänder in 6-cm-Stücke schneiden.
KGV-Beispiel: Fahrpläne Zwei Busse fahren von derselben Station ab. Bus A fährt alle 12 Minuten, Bus B alle 18 Minuten. Beide fahren um 8:00 Uhr ab. Wann fahren sie wieder gleichzeitig? Das KGV von 12 und 18 ist 36, also um 8:36 Uhr.
Wie findet man den GGT?
Methode 1: Alle Teiler auflisten
- Liste alle Teiler jeder Zahl auf
- Finde die gemeinsamen Teiler
- Wähle den größten
Beispiel: GGT von 12 und 18
- Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Gemeinsame Teiler: 1, 2, 3, 6
- GGT = 6
Methode 2: Primfaktorzerlegung
- Zerlege jede Zahl in Primfaktoren
- Identifiziere gemeinsame Primfaktoren
- Multipliziere die gemeinsamen Faktoren
Beispiel: GGT von 12 und 18
- 12 = 2 × 2 × 3
- 18 = 2 × 3 × 3
- Gemeinsam: 2 × 3 = 6
Methode 3: Euklidischer Algorithmus
Die schnellste Methode für große Zahlen:
- Teile die größere Zahl durch die kleinere
- Ersetze die größere Zahl durch den Rest
- Wiederhole bis der Rest 0 ist
- Der letzte Rest ungleich Null ist der GGT
Beispiel: GGT von 48 und 18
- 48 ÷ 18 = 2 Rest 12
- 18 ÷ 12 = 1 Rest 6
- 12 ÷ 6 = 2 Rest 0
- GGT = 6
Wie findet man das KGV?
Methode 1: Vielfache auflisten
- Liste Vielfache jeder Zahl auf
- Finde das kleinste gemeinsame Vielfache
Beispiel: KGV von 4 und 6
- Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
- Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24...
- KGV = 12
Methode 2: Primfaktorzerlegung
- Zerlege jede Zahl in Primfaktoren
- Nimm die höchste Potenz jeder Primzahl
- Multipliziere sie miteinander
Beispiel: KGV von 12 und 18
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
- Höchste Potenzen: 2² × 3² = 4 × 9 = 36
Methode 3: Mit GGT (am schnellsten!)
Für zwei Zahlen a und b: KGV(a, b) = (a × b) ÷ GGT(a, b)
Beispiel: KGV von 12 und 18
- GGT(12, 18) = 6
- KGV = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36
Die GGT-KGV-Beziehung
Für zwei positive ganze Zahlen a und b gilt:
GGT(a, b) × KGV(a, b) = a × b
Nützliche Kontrolle: Wenn 12 × 18 = 216 und 6 × 36 = 216, sind Ihre Antworten korrekt!
Häufige Anwendungen
| Anwendung | Was verwenden |
|---|---|
| Brüche kürzen | GGT |
| In gleiche Gruppen teilen | GGT |
| Brüche addieren/subtrahieren | KGV (Hauptnenner) |
| Wiederkehrende Termine planen | KGV |
| Zyklusüberschneidungen finden | KGV |
| Gleiche Längen schneiden/messen | GGT |
Übungsaufgaben
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GGT von 24 und 36: Teiler von 24 sind 1,2,3,4,6,8,12,24. Teiler von 36 sind 1,2,3,4,6,9,12,18,36. GGT = 12
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KGV von 8 und 12: 8 = 2³, 12 = 2² × 3. KGV = 2³ × 3 = 24
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18/24 kürzen: GGT(18,24) = 6. Also 18/24 = 3/4
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1/6 + 1/8 berechnen: KGV(6,8) = 24. Also 1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24