Calculateur PGCD & PPCM
Trouvez le Plus Grand Commun Diviseur et le Plus Petit Commun Multiple de n'importe quels nombres avec des solutions détaillées étape par étape et la décomposition en facteurs premiers.
Mode de calcul
Nombres détectés: 12, 18
Relation entre PGCD et PPCM
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Qu'est-ce que le PGCD et le PPCM ?
PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand nombre qui divise deux nombres ou plus sans reste.
PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre qui est un multiple de deux nombres ou plus.
Exemples de la vie quotidienne
Exemple de PGCD : Couper des rubans Vous avez deux rubans : l'un mesure 12 cm, l'autre 18 cm. Vous voulez les couper en morceaux égaux sans reste. Le PGCD de 12 et 18 est 6, donc vous pouvez couper les deux rubans en morceaux de 6 cm.
Exemple de PPCM : Horaires Deux bus partent de la même gare. Le bus A part toutes les 12 minutes, le bus B toutes les 18 minutes. Ils partent tous les deux à 8h00. Quand partiront-ils ensemble à nouveau ? Le PPCM de 12 et 18 est 36, donc à 8h36.
Comment trouver le PGCD ?
Méthode 1 : Lister tous les diviseurs
- Listez tous les diviseurs de chaque nombre
- Trouvez les diviseurs communs
- Choisissez le plus grand
Exemple : PGCD de 12 et 18
- Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6
- PGCD = 6
Méthode 2 : Décomposition en facteurs premiers
- Décomposez chaque nombre en facteurs premiers
- Identifiez les facteurs premiers communs
- Multipliez les facteurs communs
Exemple : PGCD de 12 et 18
- 12 = 2 × 2 × 3
- 18 = 2 × 3 × 3
- Communs : 2 × 3 = 6
Méthode 3 : Algorithme d'Euclide
La méthode la plus rapide pour les grands nombres :
- Divisez le plus grand nombre par le plus petit
- Remplacez le plus grand nombre par le reste
- Répétez jusqu'à ce que le reste soit 0
- Le dernier reste non nul est le PGCD
Exemple : PGCD de 48 et 18
- 48 ÷ 18 = 2 reste 12
- 18 ÷ 12 = 1 reste 6
- 12 ÷ 6 = 2 reste 0
- PGCD = 6
Comment trouver le PPCM ?
Méthode 1 : Lister les multiples
- Listez les multiples de chaque nombre
- Trouvez le plus petit multiple commun
Exemple : PPCM de 4 et 6
- Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24...
- Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24...
- PPCM = 12
Méthode 2 : Décomposition en facteurs premiers
- Décomposez chaque nombre en facteurs premiers
- Prenez la puissance la plus élevée de chaque facteur premier
- Multipliez-les ensemble
Exemple : PPCM de 12 et 18
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
- Puissances maximales : 2² × 3² = 4 × 9 = 36
Méthode 3 : Utiliser le PGCD (le plus rapide !)
Pour deux nombres a et b : PPCM(a, b) = (a × b) ÷ PGCD(a, b)
Exemple : PPCM de 12 et 18
- PGCD(12, 18) = 6
- PPCM = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36
La relation PGCD-PPCM
Pour deux entiers positifs a et b :
PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b
Vérification utile : si 12 × 18 = 216 et 6 × 36 = 216, vos réponses sont correctes !
Utilisations courantes
| Utilisation | Quoi utiliser |
|---|---|
| Simplifier des fractions | PGCD |
| Diviser en groupes égaux | PGCD |
| Additionner/soustraire des fractions | PPCM (dénominateur commun) |
| Planifier des événements récurrents | PPCM |
| Trouver quand les cycles s'alignent | PPCM |
| Couper/mesurer des longueurs égales | PGCD |
Exercices pratiques
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PGCD de 24 et 36 : Diviseurs de 24 : 1,2,3,4,6,8,12,24. Diviseurs de 36 : 1,2,3,4,6,9,12,18,36. PGCD = 12
-
PPCM de 8 et 12 : 8 = 2³, 12 = 2² × 3. PPCM = 2³ × 3 = 24
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Simplifier 18/24 : PGCD(18,24) = 6. Donc 18/24 = 3/4
-
Calculer 1/6 + 1/8 : PPCM(6,8) = 24. Donc 1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24